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Ressources niveau lycée

Cette activité est une variation libre et originale autour du jeu de franc-carreau de Buffon.

On va définir un nouveau jeu appelé jeu de la passoire de Buffon : le jeu consiste à lancer une petite bille contre une plaque perforée dans le but de la traverser.
La plaque perforée a l'allure suivante :

Quelle est la probablilité de gagner si on joue au hasard?

I) Modélisation du jeu

On a un pavage triangulaire que l'on peut réaliser en 2D.

passoire mur 2D script

On peut aussi modéliser le pavage en 3D :

passoire mur 3D script

Imaginons un instant que la passoire soit constituée de cercles en fil de fer.
Dans le cas présent, on a choisi des trous (cercles) de rayon 0.4, et les centres sont espacés de 1 dans le réseau.
On veut alors prendre une bille de rayon suffisamment grand pour qu'elle ne puisse passer qu'à travers les cercles, et pas entre les cercles.

On peut réaliser le schéma suivant pour évaluer le rayon minimal de la bille :

La hauheur du triangle équilatéral est \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Donc la distance \(d\) cherchée est \(d=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0,4=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-0,4\approx 0,18\)

Pour toute la suite, on a décidé de prendre une bille de rayon 0.2.

On reprend la figure 3D et on la complète pour modéliser le jet frontal (parfaitement horizontal) de 40 billes contre la passoire. Les billes qui ne passent pas le mur rebondissent et reviennent en arrière.

 

jet 01 tranche c


p-j : passoire-01.zir

Quelle est alors la probabilité théorique d'un jet transperçant (passage réussi)?
Pour que la bille passe à travers le mur, il faut et suffit que la trajectoire de son centre coupe le mur à l'intérieur d'un cercle de rayon 0.2 lui-même "à l'intérieur d'un trou" (zone rouge).


Onn peut se ramener par translations à un seul triangle équilatéral.

La probabilité \(p\) d'avoir un jet transperçant est le quotient de l'aire en rouge par l'aire du triangle.

\(p=\dfrac{\dfrac{\pi \times 0,2^2}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{0,08\pi}{\sqrt{3}}\approx 0,145\), soit 14,5% (à comparer avec les 12,5% obtenus précédemment).

Pour augmenter la vitesse, on peut enlever la partie "cosmétique" de constructions et ne garder que les calculs et l'affichage des résultats.
Et on peut faire afficher une valeur approchée de \(\pi\) en exploitant la fréquence des jets transperçant, qui doit tendre vers \(\dfrac{0,08\pi}{\sqrt{3}}\).

script 02

p-j : passoire-02.zir

Pour obtenir plus de puissance, on peut revenir en 2D et faire des calculs sans aucune construction (et sans utiliser la tortue).
On se ramène ici à un losange plutôt qu'à un triangle équilatéral.

script 03

p-j : passoire-03.zir

Pièce(s) jointe(s):
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