Une rotation d’angle une fraction de l’angle plein peut être appelée une symétrie radiaire.
Une courbe invariante par une rotation d’angle 360/m est dite symétrique d’ordre m. On va voir comment en créer des versions dynamiques avec DGPad.

01 fig gen

(copie d'écran) figure dynamique par rapport à A, B, P1, P2, Q1, Q2 et k

Exemple : la fleur ci-dessous a (approximativement) un centre de symétrie radiaire d'ordre 5. Si on la tourne d'un cinquième de tour, on retrouve la forme initiale.

02 fleur

I) Le cercle

Pour construire un cercle avec DGPad, on peut utiliser la représentation graphique d'une fonction complexe (de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\)).
Au moment de l'écriture de cet article, DGPad « reconnaît » le nombre imaginaire pur i, mais ne « reconnaît » pas l'expression exp(i). En pratique, on entre donc une expression égale à cos(t)+i*sin(t), en prenant t entre 0 et 360 (par défaut on est en degrés). DGPad reconnaît une fonction de t et propose de la représenter graphiquement (bouton contextuel). On accepte.

01 fig cercle

02 fig cercle

On obtient un cercle de centre O et de rayon 1.
Ce cercle peut être « rempli » avec une opacité choisie en accédant aux propriétés de la courbe.

03 fig disque

Pour faire en sorte que le cercle ait un rayon dynamique, on peut créer un point B et modifier l'expression en la multipliant par B.

04 fig disque

On modifie l'expression en (cos(t)+i*sin(t))*B.
On obtient un cercle de centre O passant par B (au point B on est à t=0).

05 fig disque

On valide la modif (bouton vert).

Pour obtenir un cercle de centre dynamique, on peut créer un point A et on est alors tenté de modifier l'expression en lui ajoutant A.
L'expression deviendrait (cos(t)+i*sin(t))*B+A.
On obtiendrait un cercle de centre A et de rayon OB (ce qui est un peu troublant).

06 fig disque

Enfin, pour construire le cercle de centre A passant par B, on peut modifier l'expression en A+(B-A)*(cos(t)+i*sin(t)).
On retombe en terrain familier de la géométrie dynamique.

07 fig disque

"Tout ça pour ça", pourrait-on dire à ce stade. Patience...

II) Un pont plus loin

 Dans l'expression A+(B-A)*exp(it) on a compris le rôle de A et B. On va maintenant s'intéresser à la partie dépendant du paramètre t.

On peut écrire l'expression sous la forme générale A + (B-A)*f(t) avec f(t) = exp(it). Il est temps de prendre une fonction un peu plus compliquée pour f(t).

On va prendre f(t) = exp(it) + P2.exp(6it) où P2 est un point libre (on rappelle que DGPad permet de confondre un point et son affixe). En pratique, on entre donc l'expression A+(B-A)*(cos(t)+i*sin(t)+P2*(cos(6t)+i*sin(6t))).
On obtient cette figure dynamique par rapport à A, B et P2 :

Cette figure a clairement un centre de symétrie radiaire d'ordre 5.
On peut la comparer à cette autre figure dynamique :

Cette figure a encore un centre de symétrie radiaire d'ordre 5. Mais ses arches sont deux fois plus grandes, elles font \(\dfrac{2}{5}\) de tour alors que pour la figure précédente, les arches faisaient \(\dfrac{1}{5}\) de tour.

Essayons d'expliquer cela :

360°/5 = 72°.

* Pour la première figure :

La partie qui varie en fonction de t est f(t) = exp(it) + P2.exp(6it).

f(t+72)=exp(i(t+72)) + P2.exp(6i(t+72))=exp(it).exp(72i)+ P2.exp(6it).exp(6i.72)=exp(72i).exp(it)+ P2.exp(6i.72).exp(6it)=exp(72i).exp(it)+ P2.exp((5+1)i.72).exp(6it)=exp(72i).exp(it)+ P2.exp(360i).exp(72i).exp(6it)=exp(72i)(exp(it)+P2.exp(6it))=exp(72i).f(t). Ouf...

Cette égalité montre que la courbe est invariante par une rotation d'un cinquième de tour.
Plus précisément, quand on a parcouru 1/5 de la courbe (à savoir en t=72°), on recommence le même tracé tourné d’un angle égal à 1/5 de tour. On dit que la courbe est symétrique d’ordre 5 et de type 1.

* Pour la deuxième figure :

f(t+72)=exp(2\(\times\)72i).f(t). On dit que la courbe est symétrique d’ordre 5 et de type 2.

Pour les deux figures, ce qui est essentiel pour obtenir une symétrie radiaire d'ordre 5 est que pour les fonction exponentielles exp(pit) et exp(qit) que l'on ajoute, on ait p \(\equiv\) q (modulo 5).
Pour la première figure, on a : p = 1 \(\equiv\) 1 (mod 5) et q = 6 \(\equiv\) 1 (mod 5)
Pour la deuxièmee figure, on a : p = 2 \(\equiv\) 2 (mod 5) et q = 7 \(\equiv\) 2 (mod 5)

Plus généralement, si on a une fonction f qui vérifie f(t+360/m)=exp(k*i*360/m).f(t) avec k et m premiers entre eux (autrement dit tels que la fraction \(\dfrac{k}{m}\) ne soit pas simplifiable), on dit que la courbe est symétrique d’ordre m et de type k.

III) Espaces vectoriels sur \(\mathbb{C}\) des courbes symétriques d'ordre m et de type k

On peut montrer qu’une fonction f(t)=exp(int) vérifie f(t+360/m)=exp(k*i*360/m).f(t) si et seulement si n \(\equiv\) k mod m

Et en reprenant la démonstration faite plus haut pour la première figure, on peut montrer que cette condition est stable par addition de deux fonctions et par multiplication par un complexe.
Par conséquent, on peut créer différents espaces vectoriels sur \(\mathbb{C}\) à partir de ces fonctions.

Ces espaces vectoriels sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel \(\mathcal{F}_{fini}\) des sommes finies de Fourier.

\(\mathcal{F}_{fini}=\left\{\sum_{n=-L}^La_ne^{int} \mid a_n \in \mathbb{C}, L \in \mathbb{N} \right\}\)

Le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{F}_{fini}\) des fonctions dont la courbe est symétrique d’ordre m et de type k est :

\(\mathcal{F}_{k,m}=\left\{\sum_{n=-L}^La_ne^{int} \mid L \in \mathbb{N} , \quad a_n \in \mathbb{C} \quad \text{et} \quad a_n = 0 \quad \text{si} \quad a_n \not\equiv k \quad \text{(mod m)} \right\} \subset \mathcal{F}_{fini}\)

On peut définir un sous-espace vectoriel en fixant L :

\(\mathcal{F}_{k,m, L}=\left\{\sum_{n=-L}^La_ne^{int} \mid a_n \in \mathbb{C} \quad \text{et} \quad a_n = 0 \quad \text{si} \quad a_n \not\equiv k \quad \text{(mod m)} \right\} \subset \mathcal{F}_{k,m}\)

On peut représenter dynamiquement \(\mathcal{F}_{k,5, 9}\) en utilisant un curseur k variant entre 1 et 4 et l'expression P1.exp(kit) + P2.exp((5+k)it)+Q1.exp((-5+k)it) + Q2.exp((-10+k)it)