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Le pavade de Hirschorn est un pavage du plan à partir d'un pentagone équilatéral convexe.
Ce pavage est apériodique et invariant par rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

Il utilise un pentagone équilatéral d'angles 140°, 60°, 160°, 80°, 100° et sa version "retournée" (son symétrique) comme indiqué sur la figure ci-dessous (les pentagones pointés sont des pentagones retournés).

tuiles directes indirectes

Remarque : ce même pentagone permet de paver le plan de manière périodique. Mickaël Rao a démontré en 2017 que tous les pentagones convexes qui pavent le plan peuvent le paver de façon périodique. Cette propriété était déjà démontrée pour les autre polygones convexes. Par conséquent, elle est vraie pour tous les polygones convexes qui pavent le plan.

On va construire ce pavage avec CaRMetal.

pavage max

La figure est dynamique par rapport aux deux points en rouge (orientation et taille).
La figure est dynamique par rapport au curseur E (angle \(\widehat{E}\)).


On construit toujours une figure avec des pentagones "de type 1" (voir cet article) qui peuvent, potentiellement, paver le plan.

Le niveau (le nombre de couronnes) est donné par un curseur non dynamique. Il faudrait utiliser plutôt DGPad (qui a des boucles dynamiques) pour construire une figure avec ce curseur dynamique.
Les couleurs sont dynamiques (on s'est limité à 5 couleurs, soit 15 curseurs Rouge Vert Bleu).

La figure est difficile à construire dans le cas général (au niveau n) : il faut repérer à partir de quel niveau on a une régularité que l'on peut coder.
Elle est construite à l'aide de la tortue dynamique, sans aucun calcul.
On a géré les niveaux de calque des cinq premiers niveaux pour l'esthétique des figures obtenues quand \(\widehat{E}\neq 100°\). On obtient ce genre de fantaisies :

pavage 60

pavage 120

pavage 150

Le code est écrit en Javascript francisé.

Pièce(s) jointe(s):
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