inattendu01

Dans cet article, on va construire la fractale de Cesàro (variante plus générale de la fractale de von Koch) sans utiliser les angles (et la trigonométrie). La construction sera faite à la règle et au compas.

La courbe de Cesàro (ou fractale de Cesàro) est une variation de la courbe de von Koch.

Pour la courbe de von Koch, on part d'un segment [AB] que l'on coupe en trois parties égales. AC = CE = EB.
Le point D est tel que CED est un triangle équilatéral.
On remplace alors le segment [AB] par la ligne brisée ACDEB.
Puis on réitère le procédé sur chacun des segments [AC], [CD], [DE], [EB].
Etc

 Koch01

Pour la courbe de Cesàro, on se donne un paramètre (plus exactement un élément dynamique) supplémentaire. On veut encore obtenir une ligne brisée ACDEB avec quatre segments de même longeur, mais le point D peut être plus ou moins élevé par rapport à la ligne d'horizon AB.

Cesaro 01

  • D peut être "au ras du sol" : AC = CD = DE = EB = AB/4. CDE est un terrain plat
  • D peut être au sommet d'un triangle équilatéral (Koch). CDE est une colline.
  • D peut être à une hauteur extrême égale à AB/2. On a alors C = E. CDE est un pic.

Pour construire la fractale de Cesàro, la méthode traditionnelle consiste à utiliser l'angle \(\widehat{ECD}\) et à faire de la trigonométrie.
L'angle \(\widehat{ECD}\) peut être choisi au départ, ou mieux être un élément dynamique de la figure produite. Cette méthode peut être utilisée en géométrie de la tortue. Elle est parfaitement mise en oeuvre avec DGPad par Yves Martin dans son article sur la tortue de DGPad.

On se propose ici de construire la fractale de Cesàro dynamique sans utiliser les angles et sans aucun calcul. On utilisera exclusivement des éléments de construction à la règle et au compas.
On peut faire cette construction avec CaRMetal ou avec MathABlocs.

L'idée de départ est de prendre comme troisième élément dynamique un point (le sommet de la coline, que l'on a nommé D dans les figures ci-dessus) au lieu d'un curseur pour l'angle \(\widehat{ECD}\). La fonction récursive que l'on va construire aura (en plus du paramètre niveau) trois paramètres au lieu de deux dans la méthode classique (ces paramètres sont des noms de points).

Cesaro 02


On a besoin d'une macro qui permet d'obtenir à partir de A, B, C les mêmes éléments à l'étape suivante.

On imagine que C est sur la médiatrice de [AB] (on appliquera la macro dans cette configuration pour obtenir la courbe de Cesàro).

Cesaro 03c

La ligne brisée est ADCEB.
Mais on a aussi besoin des points F, G, H, I  tels que les triangles en vert soient semblables au triangle ABC.

On part de trois points libres A, B, C et on crée les points D, E, F, G, H, I en vue de définir une macro.
On commence par construire le point D à l'intersection de la médiatrice de [AC] et du segment [AB].
Le point E peut alors être construit rapidement en utilisant l'outil compas.
Le point F est le point d'intersection de la médiatrice de [AD] et du segment [AC]. En effet, le tiangle AFD est alors isocèle et a le même angle à la base que le triangle ABC. Donc il est (sera) semblable au triangle ABC (quand C sera sur la médiatrice de [AB]).
Les autres triangles verts sont construits en utilisant l'outil médiatrice et l'outil compas (pour reporter la longueur AF).

On peut ensuite construire la macro.
Avec CaRMetal, on peut désigner dans l'ordre les finaux F, D, G, H, E, I en vue d'utiliser ensuite ExécuterMacroCommeDéfinie.
Avec MathABlocs, il faut être attentif à l'ordre des finaux dans la liste qui sera retournée par le bloc traduisant la macro.

Cesaro 04

Ici, ils sont par ordre alphabétique, ce qui va simplifier les choses. On nomme la macro Cesaro.
Pour terminer la figure avec MathABlocs, on peut partir de l'exemple du flocon de von Koch donné dans la palette Démos du logiciel, puis l'adapter.

On ouvre l'exempe du flocon, puis on l'ajuste pour arriver à ce code :

Koch02

Ce code génère cette figure :

Koch fig

On transforme la macro Cesaro en bloc en cliquant sur le bouton macro.
On ajoute un paramètre à la fonction segment_Koch, que l'on renomme segment_Cesaro :

Cesaro macro01b

En approchant le point C  de la médiatrice de [AB]  on s'approche de la courbe de Cesàro.

Cearo macro02

Pour obtenir exactement la courbe de Cesàro il ne reste plus qu'à attacher le point C sur la médiatrice de [AB].
On peut aussi laisser le point C libre, ce qui permet d'observer des configurations inattendues qui peuvent être "intéressantes esthétiquement".

inattendu01

inattendu02

On donne le fichier MathABlocs en p-j. Le bloc macro_Cesaro2 correspond à une variante de macro où l'on a pris des intersections avec des droites plutôt qu'avec des segments, ce qui permet d'explorer davantage de "configurations inattendues" (mais cela n'apporte pas grand-chose de plus).

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