Actualité de CaRMetal et DGPad

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Dans cet article, on va créer une version dynamique d'un pavage visible sur les murs du palais de l'Alhambra.
Ce pavage faisait l'objet de l'exercice 3 du BAC STD2A Métropole - La Réunion de juin 2018

Comme dans le sujet du Baccalauréat (une méthode différente sera présentée à la fin de l'article), on va construire ce pavage de deux façons, en positif et en négatif. Ce pavage sera dynamique en trois points. (On présentera une méthode plus simple en fin d'article.)
On va le construire avec une méthode très simple, en utilisant les outils de l'interface et la CaRCommande ExécuterMacro dans un script.
Le script sera très proche de celui présenté dans les articles précédents présentant un pavage (par la méthode utilisant les translations), à ceci près que le motif, qui est compliqué, sera construit par macro. Autrement dit, on aura des points pilotes (les deux points libres et le point semi-libre) que l'on déplacera par translation avant de leur appliquer la macro créant le motif.

motifs sujet

Remarque : ce pavage est un pavage périodique du plan. Il existe 17 types de pavages périodiques (invariants par deux translations indépendantes) du plan. Le pavage présenté est de type "rectangulaire bisymétrique" (ce type est nommé pmm selon la dénomination des cristallographes et M2 selon la dénomination du Kangourou).
En s'écartant de l'énoncé, on pourrait construire le pavage différemment, en appliquant des symétries axiales successives à un motif constitué par une étoile.

I) Création du pavage en positif

Dans ce cas, le motif est constitué par des étoiles. On va considérer, comme dans le sujet du BAC, que le motif comporte 4 étoiles.
La "finesse" des étoiles sera dynamique.

On commence par construire deux points A et B libres, puis un point C sur le cercle de centre A passant par B.

etoile 01

Ensuite, on termine l'étoile :

etoile 03

Il y a plusieurs méthodes possibles. Voici par exemple nos traits de construction :

etoile 02

On voit que l'on a utilisé l'outil cercle passant par un point et l'outil angle de mesure donnée.

Ensuite, on crée une première macro nommée une-etoile avec pour initiaux A, B, C et pour seul final l'étoile(polygone).

On poursuit ensuite la construction pour obtenir les points nommés I et K sur l'illustration ci-dessous. (On a construit une droite pour pouvoir utilsier l'outil symétie axiale).

etoile 04

On peut alors appliquer la macro une-etoile à D, K, I.

Puis on peut obtenir les deux étoiles de gauche directement par translation de vecteur \(\vec{LA}\) appliquée aux polygones.

On peut alors créer une macro nommée quatre-etoiles avec pour initiaux A, B, C et pour finaux les quatre étoiles.

Le script pour le pavage est alors très simple.

script positif

On peut changer le fond et modifier les préférences pour obtenir ce pavage :

fig finale positif

II) Création du pavage en négatif

On fait pareil avec les deux hexagones.
Plus précisément, on crée les trois points A, B, C puis on termine l'hexagone et on crée la macro un-hexagone d'initiaux A, B, C et de final l'hexagone.
Ensuite on crée les points G, H, I

negatif 01

Voici nos traits de construction :

negatif 02

On applique la macro un-hexagone à H, G , I :

negatif 03

Puis on crée la macro deux-hexagones d'initiaux A, B, C et de finaux les deux hexagones.
On change le fond et on part des trois points A, B, C.

motif neg

Voici le script, quasi-identique au précédent.

script neg

On veille à avoir des préférences cohérentes et on lance le script.
On  obtient ce pavage :

fig finale neg

III) Méthode différente à partir du "motif minimal"

On part d'une étoile et on applique des symétries axiales successives. Pour obtenir un développement en spirale, on peut utiliser le script suivant :

script pmm

Voir pavage-Alambra-methode-elementaire-pseudo-code.zir

 

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