Actualité de CaRMetal et DGPad

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pavage tortue mini

NB : cet article est une prépublication en avant-première d'un article qui sera publié dans la revue MathémaTICE.
Dans cet article, on va voir différentes façons "modernes" de construire un pavage dynamique (par rapport à trois points) du plan par des parallélogrammes.
Les méthodes sont généralisables à des pavages plus compliqués. Elles permettent également de présenter différents paradigmes de programmation en géométrie dynamique.

On a vu apparaître un exercice sur les pavages dans le sujet du brevet de juin 2018 d'Amérique du Nord (exercice 5). (En fait, il s'agit d'une frise. On dit que les frises sont décoratives, c'est le cas de celle-ci, qui habille des questions élémentaires sur les transformations.)
Il s'agit d'un pavage très simple à partir de losanges obtenus eux-même à partir d'un motif élémentaire constitué par un triangle isocèle (selon un enchainement encouragé au collège car il permet de «caser» une transformation en passant). Ce pavage est un cas particulier du pavage par des parallélogrammes.

I) Construire la frise

On va commencer par utiliser le logiciel CaRMetal, qui propose un panel d'outils différents mais cohérents qui permettent de résoudre le problème de façon simple et méthodique.

Première méthode : avec les transformations

1) On crée deux points libres A et B, puis la médiatrice de [AB] (construire le segment [AB] est inutile) et un point C sur cette médiatrice.

frise 03b

2) On masque la médiatrice.

3) On détermine l'aspect par défaut de tous les points suivants, que l'on va créer par script.

frise 04deb2

4) On crée un script dans lequel on commence par créer le centre du losange, puis le point D par symétrie centrale.
On programme en pseudo-code pour habituer les élèves à cette écriture des algorithmes, désormais utilisée dans les sujets du baccalauréat.

frise 05b

5) On poursuit en construisant les triangles.
frise 06b

6) On termine le script.
frise 07e

Et on peut proposer une version plus compacte :
frise 08b

Voir frise-01 en p-j

Deuxième méthode : avec la tortue

Pour la frise, on obtient facilement un script convaincant avec les transformations. Il peut donc sembler incongru de proposer une méthode avec la tortue.
Mais dans la généralisation au pavage, la méthode avec la tortue apportera tout sons sens (= sa plus value par rapport à la méthode avec des transformations).

Voici le script tortue. Au lieu de translations, on utilise des déplacements de tortue:

 frise 09 tortue 01b

Voir frise-tortue en p-j

Troisième méthode : avec une macro

On part des trois points A, B et C comme précédemment.
frise 10 macro 01

1) On construit via l'interface les points jouant le rôle de A et B à l'étape suivante en utilisant les outils milieu, symétrie centrale, et translation.
frise 11 macro 02

2) On construit une macro frise.
frise 12 macro 03b
frise 13 macro 04
frise 14 macro 05b
frise 15 macro 06

3) On écrit un script avec ExécuterMacroCommeDéfinie.
On choisit par défaut une forme minimale pour les points et on lance le script.
frise 16 macro 07c

Voir frise-macro en p-j

Remarque : pour l'instant, on a construit une frise avec des losanges. Pour obtenir une frise plus générale (trois points A, B et C libres) , il suffit de "détacher" le point C de la médiatrice (clic droit sur le point pour afficher sa barre de propriétés, puis clic sur le bouton détacher).
On peut le faire avant ou après exécution du script (et pour les trois méthodes bien-sûr).

frise 17 general

II) Construire le pavage

Ce n'était pas demandé dans le sujet du brevet, mais c'est tentant : passons au pavage.

Dans le cas de la frise, on a suivi le processus suivant :

Construire le point D
Construire le premier losange
répéter 4 fois
   Décaler les points
   Construire le losange

Pour le pavage, il sera plus simple de procéder ainsi :

Construire le point D
répéter 4 fois
    Construire le losange
    Décaler les points

Ce qui donnerait pour la frise ce code, qui évite une répétition :
frise 18 pavage 01

Voir frise-en-vue-du-pavage en p-j

Première méthode : avec les transformations

Il faut retenir la position des points sur la première "colonne". Ce sera le rôle des variable js2.
Il faut aussi mettre à jour ces variables à mesure du tissage du pavage.

pavage 01

Voir pavage-01 en p-j

Deuxième méthode : avec la tortue

Vous me voyez venir, on ne va plus utiliser les variables js2, on va demander à la tortue de faire le yoyo.

pavage 02 tortue

Voir pavage-tortue en p-j

Troisième méthode : avec une macro

pavage 03 macro

Voir pavage-macro en p-j

III) Construire la frise et le pavage en Programmation Visuelle par Blocs avec DGPad

Il s'agit de programmation tortue classique (mais avec une tortue dynamique).
Comme précédemment on construit via l'interface deux points libres A et B, puis un point C sur la médiatrice de [AB].

On programme ensuite la tortue du point C.

On construit une fonction(procédure) triangle avec en paramètre un numéro de couleur.
pavage 04 dgp 01

On construit une fonction(procédure) parallelo.
pavage 05 dgp 02

1) Construire la frise

Le script «principal» est le suivant :
pavage 06 dgp 03

pavage 07 dgp 04

Les numéros de couleur et le nombre d'itérations peuvent être définis dynamiquement par curseurs.

2) Construire le pavage

Le script «principal» est le suivant :
pavage 09 dgp 06

pavage 10 dgp 07

Comme pour le pavage obtenu avec CaRMetal, on peut libérer le point C pour obtenir le pavage classique par des parallélogrammes (avec trois points libres A, B, C).

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