Dans cet article de la revue MathémaTICE, on passe en revue (et on construit avec CaRMetal) les fractals de Sierpinski, 2D et 3D.

• Amélioration du comportement de l'éditeur en mode pseudo-code : il s'agit en particulier de la traduction automatique en direct du signe de la multiplication (* en \(\times\) et réciproquement).
  Dans la version 4.2.8, le signe * était automatiquement transformé en \(\times\) dans les passages qui n'étaient pas entre guillemets. Ce comportement pouvait poser problème en phase de rédaction, certains passages par nature entre guillemets pouvant temporairement apparaître en dehors des guillemets et subir la transformation. Or, quand on a une multiplication en programmation dynamique (= dans une expression entre guillemets) le signe \(\times\) ne fonctionne pas, il faut impérativement utiliser le signe *.
  Dans la version 4.2.9, on a ajouté un comportement : le signe \(\times\) est automatiquement transformé en * dans les passages entre guillemets. Cela permet d'avoir toujours le bon symbole.
• Correction d'un bug de l'interpréteur en mode pseudo-code : les fonctions trigonométriques inverses étaient mal interprétées (comme on pouvait le voir avec la CaRCommande getRealScript).
• Ajout de la CaRCommande AutoriserRentrant (doublon de AngleRentrant qui exprime plus clairement que cette CaRCommande s'applique aussi à des arcs).

NB : les scripts présentés dans cet article nécessitent CaRMetal version \(\geqslant\) 4.2.9

La courbe de Gosper est une courbe de Peano qui couvre le plan.

C'est une courbe fractale. On va la construire par récursivité et macro (cette macro étant définie en utilisant la géométrie de la tortue).

NB : les scripts présentés dans cet article nécessitent CaRMetal version \(\geqslant\) 4.2.9

fractale du Bibendum

fractale beurk!

Comment construire ces fractales?

Remarques :

• La partie importante de cet article concerne la représentation graphique d'une fonction définie par un algorithme.
• Comme pour CaRMetal, on (= le développeur Eric Hackenholz) a fait le choix de ne pas autoriser le passage à un repère natif qui ne serait pas orthonormé (le passage à ce type de de repère pervertit les outils, l'outil cercle ne produisant plus un cercle, etc). Quand on veut utiliser un repère non orthonormé, la pratique recommandée est de créer un repère flottant (voir la partie 3)).

Introduction

Une caustique désigne une fille à l'humour corrosif, mais pas que.
Une caustique désigne aussi l'enveloppe des rayons lumineux subissant une réflexion ou une réfraction sur une surface ou une courbe.

Si la source lumineuse est ponctuelle et située à une distance finie, on parle de caustique au flambeau.
Si la source lumineuse se trouve à une distance infinie (flux de rayons parallèles), on parle de caustique au soleil.

Une caustique par réflexion est aussi appelée catacaustique, tandis qu'une caustique par réfraction est appelée diacaustique.

1) Construction d'une semi-néphroïde comme caustique de cercle au soleil

Cet atelier a été présenté en live (mais écourté) le 20/10/2018 dans le cadre des Journées de l'APMEP de Bordeaux.

Partie 1 / 4

Cet atelier a été présenté en live (mais écourté) le 21/10/2018 dans le cadre des Journées de l'APMEP de Bordeaux.

Partie 1 / 3

carmetal.org sera représenté aux Journées de l'APMEP de Bordeaux 2018.

A prévoir(si possible) :

• Ordinateur portable avec CaRMetal 4.2.8 installé.
• Si ordinateur portable Mac ou Linux, disposer d'une version installée de DGPad.
• tablette (si pas de portable ou par préférence de l'utilisateur pour utiliser DGPad)

Cela dit, tout pourra être fait sur place si nécessaire. Les participants peuvent se contenter d'apporter un ordinateur portable.

Pitch de l'atelier

On a volontairement choisi des exemples simples.
En faire peu, mais le faire bien.

Fondamentalement, la tortue est un paradigme de déplacement (on avance et/ou on pivote) qui s’oppose au paradigme de déplacement repéré (la téléportation).
Il peut être implémenté dans n'importe quel langage de programmation (dès lors que l'on dispose d'une interface de sortie graphique).
On peut aussi implémenter la tortue en géométrie dynamique, et implémenter une tortue dynamique.
Qu'est-ce que l'on entend par là ?

1) Exemple du pentagramme dynamique

Plus précisément, on veut construire un pentagramme dynamique par rapport à deux points libres A et B.

Construction avec CaRMetal
Construction avec DGPad

2) Patron dynamique (dépliable) du cube

Construction avec CaRMetal
Construction avec DGPad

3) Courbe donnée par son équation intrinsèque (rayon de courbure)

Exemple des « courbes à rayon sinusoïdal » définies par R=a(b+cos(s/a)).
a et b sont des paramètres réels.

Construction avec CaRMetal
Construction avec DGPad

Pièce(s) jointe(s):

apmep-atelier-tortue.pdf

[support de travail pour l'atelier]

175 Ko

carmetal.org sera représenté aux Journées de l'APMEP de Bordeaux 2018.

A prévoir (si possible)

• Ordinateur portable avec CaRMetal 4.2.8 installé.
• Si ordinateur portable Mac ou Linux, disposer d'une version installée de DGPad.
• tablette (si pas de portable ou par préférence de l'utilisateur pour utiliser DGPad)

Cela dit, tout pourra être fait sur place si nécessaire. Les participants peuvent se contenter d'apporter un ordinateur portable.

Pitch de l'atelier

On a volontairement choisi des exemples simples.
En faire peu, mais le faire bien.

On appelle ici « programmation dynamique » une programmation qui intègre des éléments dynamiques et maintient des liaisons dynamiques (autrement dit dans le même sens que dans l'expression géométrie dynamique).
La programmation dynamique est un enjeu important de la programmation dans le cadre d’un espace de géométrie dynamique : le plus souvent on souhaite maintenir des liaisons dynamiques dans les objets construits par script (et le logiciel le permet).

Intérêts de la programmation dynamique

La programmation dans le cadre d’un espace de géométrie dynamique permet d’automatiser des taches de géométrie dynamique et d’obtenir des constructions complexes : on exploite le potentiel de la programmation dans le domaine de la géométrie dynamique.
Inversement (et simultanément) on exploite le potentiel de la géométrie dynamique pour développer des compétences de programmation : on travaille dans un espace familier de géométrie avec un retour visuel qui peut valider le programme.

Outils

Quand on programme dans le cadre d’un espace de géométrie dynamique on utilise un langage de programmation (typiquement Javascript ou Python) enrichi d’instructions de l’espace de géométrie dynamique utilisé.
Dans certains logiciels, une instruction particulière permet de traduire toute macro (outil personnalisé) en une instruction utilisable dans un script.
Dans certains logiciels (CaRMetal et DGPad), on dispose d’une tortue dynamique et on peut utiliser des instructions tortue dans les scripts.

TP à réaliser

1) programmation dynamique des racines d'une équation de degré 2

Présentation de l'algorithme (non dynamique) avec CaRMetal
Présentation d'une solution dynamique via l'interface
Présentation d'une solution dynamique par script
Présentation du problème du nommage
en autonomie : programmation dynamique de la somme et du produit des racines (avec nommage par le logiciel).

La surcouche Blockly : programmation dynamique des solutions avec DGPad.

Comment le faire avec Scratch?

2) Programmation dynamique de la suite définie par récurrence : \(u_{n+1} = p u_n^2 + q\), avec \(p\) et \(q\) des paramètres réels.

avec CaRMetal
avec DGPad

3) Programmation dynamique d'une spirale d'or 

Programmation non dynamique avec Scratch
Programmation dynamique avec une macro (CaRMetal)
Programmation dynamique avec la tortue dynamique (DGPad)

Pièce(s) jointe(s):

apmep-atelier-progD.pdf

[support de travail pour l'atelier]

194 Ko

Une rotation d’angle une fraction de l’angle plein peut être appelée une symétrie radiaire.
Une courbe invariante par une rotation d’angle 360/m est dite symétrique d’ordre m. On va voir comment en créer des versions dynamiques avec DGPad.

(copie d'écran) figure dynamique par rapport à A, B, P1, P2, Q1, Q2 et k